MAKALAH MATEMATIKA

	MAKALAH MATEMATIKA “LINGKARAN”

 

DI SUSUN OLEH:

=>Ayi Rahmat

SMK NEGERI RAJAPOLAH

Jln ci injuk no 01 desa sukaraja kec rajapolah 46155

www.smknrjp.sch.com

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, yang atas rahmat-Nya maka saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah matematika tentang “lingkaran” Penulisan ini merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk menyelesaikan tugas mata Pelajaran matematika. Dalam penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang kami miliki. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.

Akhirnya kami sebagai penulis berharap semoga Allah memberikan pahala yang setimpal pada mereka yang telah memberikan bantuan, dan dapat menjadikan semua bantuan ini sebagai ibadah, Amiin Yaa Robbal’Alamiin.

Rajapolah, 21 februari 2014

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.....................................................................................................................................1

DAFTAR ISI ..................................................................................................................... 2

A.    PERSAMAAN LINGKARAN

1.      Definisi Lingkaran ............................................................................................ 3

2.      Jarak dua titik ................................................................................................... 3

3.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r.............................. 4

4.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan jari – jari r ............................. 5

5.      Bentuk Umum Persamaan Lingkaran ............................................................... 7

B.     PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

1.      Definisi Garis Singgung.................................................................................... 9

2.      Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran ........................ 10         

3.      Persamaan Garis Singgung Bergradien m  ....................................................... 11

4.      Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran ............................ 11

                       

C.     HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN .............................................. 13

D.    HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN ............................................................... 16

KUMPULAN SOAL – SOAL .......................................................................................... 19

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 21

A.   PERSAMAAN LINGKARAN

 

1.      Definisi Lingkaran

Perhatikan gambar lingkaran di samping!

Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsure,

diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran .

O merupakan titik pusat.

OA, OB , dan OC adalah jari – jari .

Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang

 yang sama. Sehingga, OA = OB = OC

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik

(himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu

adalah  sama ( konstan ) .

Titik tertentu disebut pusat lingkaran,dan  jarak konstan disebut jari – jari lingkaran.

2.      Jarak Dua Titik

Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x₁,y₁) dan B (x₂,y₂,) .

 

 Pada segitiga ABC di atas, berlaku :

Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari – jarinya r.

3.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Misalkan titik P(x₀,y₀)  adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka:

Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada  x₀ dan y₀, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi .

Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

v  Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari – jari r

Ì Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari – jari:

a.       5                b. 10                c. 8

Jawab :

a.     

b.     

c.      

Ì Tentukan panjang jari – jari lingkaran apabila diketahui persamaannya :

a.      

b.     

Jawab :

a.      

b.     

4.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r

Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x₀,y₀) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran didapat :

Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat :  (

 Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :

.

v  Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari – jari r

Ì Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat M(5,2) dan jari jari 4.

Jawab :

                                                 

Ì Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran bila diketahui persamaan lingkaran :

Jawab :

Jadi, pusat lingkaran (5,2) dan jari – jari lingkaran 10

5.      Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran   

Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah  dan jari – jari lingkaran

      tidak diambil, karena jari – jari lingkaran selalu positif.

v  Contoh Soal .

Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaan lingkarannya adalah :

a.      

b.     

Jawab :

a.      

                                                             

                                                                

                                                                                           =

b.     

                        

                                

î  Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah :

Ì Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r adalah

Ì Persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan jari  jari r adalah

Ì Persamaan Lingkaran dengan bentuk Umum :

Memiliki pusat lingkaran 

Dan jari  - jari 

B.   PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1.      Definisi Garis Singgung

Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!

 

                                          

                                               g  Garis singgung

                                                A(x_1,Y1)          titik singgung

                                               

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:

                               

 

Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

 

Garis singgung bergradien m

 

Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran

2.      Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran

Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran	Persamaan Garis Singgung

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran.

v  Contoh Soal .

Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran  yang melalui titik (-3,1).

Jawab  :

Titik (-3,1) dan , terletak pada

Persamaan garis singgungnya

                                               

                                             

             Jadi, persamaan garis singgung lingkaran  yang melalui titik (-3,1) adalah

3.      Persamaan Garis Singgung Bergradien m

Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah

Persamaan Lingkaran	Persamaan Garis Singgung
	Ubah bentuk persamaan ke gunakan rumus

4.      Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.

a.      Menggunakan rumus

Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik  pada lingkaran   adalah  adalah dengan

b.      Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m

Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui  dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m.

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran,  yang  malalui (7,1)

Jawab

Persamaan 1 :

                       

                        

Persamaan 2 :

                       

Persamaan Garis singgung 1

                                                            

                                                          

                                                

Persamaan Garis singgung ke 2

                                                        

                                                            

                                                           

                                                  

C.   HUBUNGAN ANTARA GARIS DAN LINGKARAN

 

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis   yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis   yang memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis  yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu:

1.      Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

 

D>0     garis memotong pada  2 titik  yang berbeda

2.      Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung Lingkaran

 

D= 0    garis menyinggung pada satu titik

3.       Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran

 

D < 0   maka  garis  tidak memotong maupun menyinggung lingkaran  

Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:

1.      Jika      D < 0   Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda   

D= 0    garis menyinggung pada satu titik                             

D>0     garis  tidak memotong maupun menyinggung lingkaran  

                                                                                   

           

Ì Contoh Soal

Tentukan posisi garis

y = !

Penyelesaian:

y =  subsitusi pada

 

=

=944

D>0

Maka garis memotong pada dua titik yang berbeda

D.   HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN

Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran :

Pada gambar a lngkaran  dan   berpotongan di dua titik yang berlainan

-          Jika pusat lingkaran  berada di lingkaran , atau sebaliknya dikatakan  dan  berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i)

-          Jika pusat lingkaran  di luar lingkaran  atau sebaliknya ,dikatakan  dan  berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)

(b)      dan   bersinggungan

Pada gambar b (i) lingkaran  dan   bersinggungan di dalam  sedangkan gambar b(ii), lingkaran  dan bersinggungan di luar

 

(c).      dan     Tidak berpotongan  maupun bersinggungan

Pada gambar c(i), lingkaran  dan  tidak berpotongan maupun bersinggung didalam

Pada gambar c(ii), lingkaran  dan  tidak berpotongan maupun bersinggung diluar

 Jika lingkaran   dan  tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka   dan  saling lepas.

 Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu:

·         Dua lingkaran sepusat atau kosentris

Lingkaran dikatakan sepusat dengan lingkaran  , jika pusat lingkaran   berimpit dengan pusat lingkaran  , tetapi jari – jari lingkaran  tidak sama dengan jari – jari lingkaran  

·         Dua lingkaran berimpit

Lingaran dikatakan berimpit dengan lingkaran  jika pusat dan jari – jari lingkaran  sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran

Ì CONTOH SOAL

Tentukan Posisi dua Lingkaran berikut.

Jawab :

                                                                                     

                                                                                             

                                                                                                  

Substitusi  ke  diperoleh :

Nilai Diskriminan persamaan kuadrat  adalah:

KUMPULAN SOAL – SOAL LINGKARAN

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari

            a. 3      b.              c. 7      d.              e.

2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat dan jari-jari sebagai berikut:

a. pusat (5, 1) dan jari-jari 4

b. pusat (2, –3) dan jari-jari 12

c. pusat (–3, 4) dan jari-jari 9

d. pusat (–1, –5) dan jari-jari 3

3.      Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran jika persamaannya :

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

f.      

4.      Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O(0,0), pusatnya pada garis x + 2y = 5, dan jari-jarinya 5.

5.      Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu y dititik asal dan melalui titik (6, –3).

6.      Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x, r = 2 dan pusatnya pada garis 2x + y = 4.

7.      Bagaimana Posisi :

a.       Garis  terhadap lingkaran

b.      Garis   terhadap lingkaran

c.       Garis   terhadap lingkaran

8.      Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2, - 1 ), (4,5), dan ( - 3, - 2 ).

9.      Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran yang melalui titik – titik (0,5),(12,0) dan titik pusat O.

10.  Tentukan persamaan garis singgung yang melalui :

a.       Titik (24, - 7) pada lingkaran

11.  Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran  dan mempunyai gradient 3!

12.  Sebuah lingkaran berpusat pada O(0,0) dan berjari – jari 5. Tentukan  persamaan garis singgung pada lingkaran itu dan yang harus sejajar dengan garis

13.  Tentukan Posisi dari dua Lingkaran berikut!

DAFTAR PUSTAKA

Bird, John. 2002. Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis Edisi Ketiga. Jakarta  : Erlangga

Budiyono. 1984. Matematika Program Inti. Malang : Widia Duta

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 untuk SMA kelas XI Program Ilmu Alam. Jakarta  : Erlangga

http://matematikaict.files.wordpress.com.2009.03.pembelajaran-lingkaran-SMA-dengan-geometri-analitik.html(diakses tanggal 21 Februari 2015)

Diposkan oleh ayi rahmat di 15.02

Muat yang lain...

Posting Lebih Baru Beranda

Langganan: Poskan Komentar (Atom)

Arsip Blog

• ▼  2015 (0)
• ▼  Februari (21)
• makalah matematika
• makalah matematika
• makalah matematika
• makalah matematika

Mengenai Saya

ayi_rahmat

Lihat profil lengkapku

Template Ethereal. Diberdayakan oleh Blogger